Phương trình nghiệm nguyên lớp 9

Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên là một vào những chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ở cấp 2 giành riêng cho học sinh khá giỏi.

Bạn đang xem: Phương trình nghiệm nguyên lớp 9

Ở bài viết này, Gia sư Tiến Bộ phân tách sẻ với những em một số phương pháp thường cần sử dụng để giải kiếm tìm nghiệm nguyên ổn của phương trình.


Nội dung bài xích viết

Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên:

Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên:

* Chụ ý: Tùy từng bài cơ mà các em áp dụng một hay kết hợp nhiều phương pháp để giải bài toán thù PT nghiệm nguyên.

1. Sử dụng tính chẵn lẻ để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 1: Tìm x, y ngulặng tố thoả mãn: y2 – 2x2 = 1

Hướng dẫn:

Ta tất cả y2 – 2x2 = 1 ⇒ y2 = 2x2 +1 ⇒ y là số lẻ

Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta tất cả (2k + 1)2 = 2x2 + 1

⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , mà lại x nguyên tố ⇒ x = 2, y = 3

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên ổn dương của phương trình:(2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2 + x) = 105

Hướng dẫn:

Ta có: (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2 + x) = 105

Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn

2|x|+ y + x2 + x = 2|x|+ y + x(x+ 1) lẻ

bao gồm x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2|x|lẻ ⇒ 2|x|= 1 ⇒ x = 0

Ttuyệt x = 0 vào phương trình ta được

(5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0

⇒ y = 4 hoặc y =

*
( loại)

Thử lại ta gồm x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình

2. Dùng bí quyết đối chiếu để giải PT nghiệm nguyên

Thực chất là biến đổi phương trình về dạng:

g1 (x1, x2,…., xn­) h (x1, x2,…., xn­) = a

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên ổn của phương trình:x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2

Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 ⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1

⇔ (x+1)4 – y2 = 1 ⇔ <(x+1)2 –y> <(x+1)2+y>= 1

*
hoặc
*

*

⇒ y = 0 ⇒ (x+1)2 = 1 ⇔x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2

Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 )

3. Dùng phương pháp cực hạn để giải PT nghiệm nguyên

Sử dụng đối với 1 số bài xích toán sứ mệnh của các ẩn bình đẳng như nhau:

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên ổn dương của phương trình:

5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

Hướng dẫn:

Ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1

Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

*
hoặc
*

* Với

*
ta gồm
*
xyz

*

Nếu

*
*

*
hoặc
*

Ta được nghiệm ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) cùng các hân oán vị của chúng

Với

*
phương trình không tồn tại nghiệm nguyên

* Với

*
thì
*

*

Do x≥ y≥z ≥ 2 nên 8x – 5 ≥ 8y – 5 ≥ 11

⇒ (8x – 5) (8y – 5) = 265 vô nghiệm

vậy nghiệm của phương trình là bộ (x, y, z)

= ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) cùng những hoán thù vị

4. Phương pháp loại trừ để giải PT nghiệm nguyên

Khẳng định nghiệm rồi loại trừ các giá bán trị còn lại của ẩn.

Xem thêm: Nghề Trang Điểm Có Kiếm Được Nhiều Tiền Không? Có Dễ Không? ? Có Dễ Không?

Ví dụ 5: Tìm nghiệm ngulặng dương của phương trình

1! + 2! + … + x! = y2

Hướng dẫn:

Với x ≥ 5 thì x! gồm tận thuộc là 0 với 1! + 2! + 3! + 4! Có tận cùng là 3

Þ 1! + 2! + … + x! gồm tận cùng là 3, không là số chủ yếu phương (loại)

Vậy x Ví dụ 6: Tìm tất cả những nghiệm ngulặng của phương trình: y2 + y = x4 + x3 + x2 + x

Hướng dẫn:

Ta gồm : y2 + y = x4 + x3 + x2 + x ⇔ 4 y2+4y+1=4 x4 + 4 x3 + 4x2 + 4x+1

⇒ (2x2 + x ) 2 – (2y + 1)2 = (3x + 1) (x +1)

tốt (2x2 + x + 1) 2 – (2y+ 1)2 = x(x-2)

Ta thấy:

Nếu x> 0 hoặc x 0

Nếu x > 2 hoặc x 0

⇒ Nếu x>2 hoặc x2 + x) 2 2 + x + 1) 2 (loại)

⇒ -1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x = 0, 1, -1, 2

Xét x = 2 ⇒ y2 + y =30 ⇒ y = 5 hoặc y= -6

Xét x= 1 ⇒ y2 + y = 4 (loại)

Xét x = 0 ⇒ y2 + y = 0 ⇒ y (y + 1) = 0 ⇒ y = 0 hoặc y = -1

Xét x = -1 ⇒ y2 + y = 0 ⇒ y = 0 hoặc y= -1

Vậy nghệm ngulặng của phương trình là:

(x,y) = (2, 5); (2, -6); (0, 0); (0, -1); (-1;0); (-1, -1)

5. Dùng chia hết cùng gồm dư để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên ổn của phương trình: x2 – 2y2 = 5

Hướng dẫn:

*

cùng x2 chia mang lại 5 tất cả những số dư 1 hoặc 4

y2 chia mang lại 5 tất cả các số dư 1 hoặc 4 ⇒ 2y2 chia cho 5 dư 2 hoặc 3

⇒ x2 – 2 y2 phân tách cho 5 dư ±1 hoặc ±2 (loại)

Vậy phương trình x2 – 2y2 = 5 vô nghiệm.

Ví dụ 8: Tìm x, y là số tự nhiên thoả mãn

x2 + 3y= 3026

Hướng dẫn:

Xét y = 0 ⇒ x2 + 30 = 3026 ⇒ x2 = 3025

nhưng xº ∈ N ⇒ x = 55

Xét y > 0 ⇒ 3y phân chia hết mang đến 3, x2 chia mang lại 3 dư 0 hoặc 1

⇒ x2 + 3ychia cho 3 dư 0 hoặc 1

nhưng mà 3026 phân tách đến 3 dư 2 (loại)

Vậy nghiệm (x,y) = (55,0)

6. Sử dụng tính chất của số ngulặng tố để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 9: Tìm x, y, z nguim tố thoả mãn: xy + 1 = z

Hướng dẫn:

Ta tất cả x, y nguyên tố cùng xy + 1 = z ⇒ z > 3

Mà z nguyên tố ⇒ z lẻ ⇒ xy chẵn ⇒ x chẵn ⇒ x = 2

Xét y = 2 ⇒ 22 + 1 = 5 là nguim tố ⇒ z = 5 (thoả mãn)

Xét y> 2 ⇒ y = 2k + 1 (k ∈ N) ⇒ 22k+1 + 1 = z ⇒ 2. 4k + 1 = z

Có 4 phân chia cho 3 dư 1 ⇒ (2.4k+1) phân tách hết đến 3 ⇒ z chia hết cho 3 ko thỏa mãn (loại)

Vậy x = 2, y = 2, z = 5 thoả mãn

7. Đưa về dạng tổng để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguim của phương trình: x2 + y2 – x – y = 8

Hướng dẫn:

Ta có x2 + y2 –x – y = 8 ⇒ 4 x2 + 4 y2 – 4 x –4y = 32

⇔ (4x2 – 4x +1) + (4y2 – 4y + 1) = 34 ⇔ (2x – 1)2 + (2y – 1)2 = 34

Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ bao gồm duy nhất 1 dạng phân tích thành tổng của 2 số chủ yếu phương 32 và 52

Do đó ta gồm

*
hoặc
*

Giải ra ta được (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) với những hoán thù vị của nó.

Ví dụ 11: Tìm nghiệm nguim của phương trình

x2 – 4xy + 5y2 = 169

Hướng dẫn: Ta có x2 – 4xy + 5y2 = 169 ⇔ (x – 2y)2 + y2 = 169

Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122

*

Giải ra ta được (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13. 0); (13, 0)

8. Dùng phương pháp lùi vô hạn để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 12: Tìm nghiệm nguim của phương trình: x2 – 5y2 = 0

Hướng dẫn:

Giả sử x0, y0 là nghiệm của phương trình x2 – 5y2 = 0

ta bao gồm

*
đặt
*

Ta tất cả

*

*
dăt
*

Vây nếu (xo;yo) là nghiệm của phương trình đã mang đến thì

*
cũng là nghiệm của phương trình đã cho. Cứ tiếp tục lập luận như vậy
*
với k nguyên ổn dương bất kỳ cũng là nghiệm của phương trình. Điều này xảy ra Khi
*

Vậy phương trình gồm nghiệm duy nhất là x = y = 0.

Xem thêm: Tại Sao Châu Âu Và Vùng Đông Bắc Hoa Kì Mạng Lưới Đường Sắt Có Mật Độ Cao ?

Ví dụ 13: Tìm nghiệm ngulặng của phương trình: x2 + y2 + z2 = x2 y2

Hướng dẫn:

Nếu x, y đều là số lẻ ⇒ x2 , y2 phân tách mang lại 4 đều dư 1

*

Đặt x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1

Ta bao gồm x+ y+z= xy

lập luận tương tự ta có x+ y+ z= 16 xy

Quá trình này cứ tiếp tục ta thấy (x1, y1, z1 ) là nghiệm của phương trình thì

*
là nghiệm của phương trình với k nguyên ổn dương

⇒x1 = y1 = z1 = 0

Vậy phương trình có nghiệm là (0, 0, 0)

9. Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2 để giải PT nghiệm nguyên

Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc 2 của ẩn coi những ẩn khác là tsay đắm số, sử dụng những tính chất về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác định giá trị của tsi mê số.

Ví dụ 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0

Hướng dẫn:

Ta tất cả PT: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0

⇒ y2 + (4x + 2)y + 3 x2 + 4x + 5 = ) (*) coi x là tđam mê số giải phương trình bậc 2 pt (*) ẩn y ta có

*

Do y nguim, x nguyên ổn

*
nguyên

*

⇒ (x- n) (x+ n) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2

Vậy phương trình bao gồm nghiệm nguyên

(x, y) = (2; -5); (-2, 3)

Ví dụ 15: Tìm nghiệm nguyên ổn của phương trình: x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0

Hướng dẫn:

Ta tất cả x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là ttê mê số ta bao gồm phương trình bậc 2 ẩn x. Giả sử phương trình bậc 2 gồm 2 nghiệm x1, x2

Ta có:

*

*

⇒ 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23

⇔ (x1 -5) (x2 -5) = 2 Mà 2 = 1.2 = (-1)(-2)

⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2

núm vào phương trình ta search được các cặp số

(x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình

10. Dùng bất đẳng thức để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên ổn của phương trình: x2 –xy + y2 = 3

Hướng dẫn:

Ta tất cả x2 –xy + y2 = 3 ⇔ (x- )2 = 3 –

Ta thấy (x-)2= 3 –≥ 0

⇒ -2≤ y≤ 2

⇒ y= ± 2; ±1; 0 ráng vào phương trình tìm x

Ta được các nghiệm nguyên của phương trình là :

(x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1)

Bài tập phương trình nghiệm nguim bao gồm lời giải:

*


Chuyên mục: Tổng hợp